Наше первое ДЗ выкладываю сюда, так как, видимо, библиотека его не выдаст.
PS. Учитель сказал, что может простить нам не сделанное ДЗ на первый раз. Вам решать)) 8.51
Восстановить функцию по данной ее части (вещественной или мнимой)
1. Делали в классе.
2. Re f = exp(x)*(x*cos(y)-y*sin(y)), f(0)=0
3. Re f = x*cos(x)*ch(y)+y*sin(x)*sh(y), f(0)=0
4. Im f = y*cos(y)*ch(x)+x*sin(y)*sh(x), f(0)=0
5. |f| = (x^2+y^2)*exp(x)
6. arg f = x*y
7. |f| = exp(r^2cos(2phi)), z=r*exp(i*phi)
8. arg f = phi+r*sin(phi), z=r*exp(i*phi)
10.46
f(dzeta) регулярна в кольце r<|dzeta|<R, непрерывна в кольце r<=|dzeta|<=R
f1(z)=1/(2*i*pi)*int(|dzeta|=R)(f(dzeta)/(dzeta-z)*(d*dzeta)), |z|<R
f2(z)=(-1)/(2*i*pi)*int(|dzeta|=r)(f(dzeta)/(dzeta-z)*(d*dzeta)), |z|>r
Доказать, что при r<|z|<R, f(z)=f1(z)+f2(z)
10.47
f(z) регулярна в кольце r<|z-a|<R.
Доказать, что можно представить в виде:
f(z)=f1(z)+f2(z), где:
f1(z) регулярна в круге |z-a|<R,
f2(z) при |z-a|>r
f2(00)=0
10.48
Доказать, что представление в №10.47 единственно. Подсказка: воспользоваться теоремой Лиувилля.
10.52
Пусть f(z) регулярна в кольце -a<Im z<a
и удовлетворяет условиям:
f(z)/z -> 0 (z -> 00, |Im z|<a)
int(-00,+00)(|f(x)|/(1+|x|)*(d*x)) < 00
Доказать, что функцию f(z) можно представить в виде f1(z)+f2(z)
Im z > -a
f1(z)/z -> 0 (z -> 00, Im z >= -a+epsilon)
для любого epsilon>0,
f2(z) регулярна в полуплоскости Im z < a и удовлетворяет:
f2(z)/z -> 0 (z -> 00, Im z <= a-epsilon)
для любого epsilon>0.
Доказать, что такое представление единственно.
PPS. Не факт, что все верно списано с учебника)))
PPPS. 00 - это бесконечность
int(-1,1)((x^2)/2)*(d*x^2) - это интеграл от минус одного до одного от икс квадрат пополам, де икс квадрат.